三月 13, 2007

一道数学题

从甲地到乙地,步行需要5个小时,汽车需要1个小时;现有人类50头和最高载客量20头的汽车一匹。问:把这50头人类从甲地弄到乙地的最短时间。

晚上看完书躺在床上还没睡着之前,通常会有一段胡思乱想的时间,我在这段时间里经常会想起一些莫名其妙的问题,前两天之前就突然想到这个初中级别的数学题.按照现在对付初中数学题的习惯,要列出普遍公式之后才算解决。

解题思路:根据统筹法确定载客方案,各批人应该同时出发同时抵达终点,也就是说每个人平均速度一样,那么用脚走的路程都相等,坐在车上的时间也相等.

首先设定明显和结论相关的条件变量a,b,c。a为单位时间,通常就是车子所需时间;b为人类和车子所需时间的比例;c为每个人类都上一次车所需的最小批次。然后设定临时变量m,n。m为人类用脚所走的路程,n为人类在车子上经过的路程……只要能确定m和n的比例关系,就可以通过加权平均得出最后的时间为 a*(b*m+n)/m+n.

接下来是逐步分析找出等式:一群人一起从甲地出发,某些用脚,某些坐车。坐车的前进了n路程之后被放下来用脚走余下的m路程,车子则往甲地行驶,和人群会合之后,上去一批人,然后车子继续往乙地前进n路程后下客返回......直到最后一批人:他们往前走了m路程之后终于碰到了返回的车辆,余下的路程都在车子上度过,然后和之前的人们同时抵达乙地。

虽然不那么直接,但是也可以比较清楚的看出来,车子每次上客的时间间隔是一样的:每次都是和人类在同一个起点出发,前进n路程之后返回相遇---时间等同于车子和人类相距2n路程的相遇问题。顺便说一句,最开始想到车子这个运行轨迹的时候,老是把它往横波传播上面套,走了不少冤枉路。

除开出发那次的上客,车子一共要上c-1批次的人类,那么就得到推论1:可以把最后一批人所走的m路程平均分为c-1份,每批人类都是走完整数个m/(c -1)之后得到上车的机会。回到相遇问题继续,人类走完m/(c-1)的时间里,车子走完的路程是2n-m/(c-1).这两者的比例和速度相关,那么就得到另外一个等式。和上面的加权等式联立消去m和n之后,可以得到只和abc相关的公式----如果是初高中的时候,我通常会在最后这个步骤栽跟头;现在我已经学乖了:不写结果,只写过程。
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